Maths correction liban 2007

, correction libanCORRECTION DU BAC 2007
Terminale S Liban

Exercice 1 1) a) ln x = 0 ? x = 1 ; ln x > 0 ? x > 1 étant strictement croissante sur ]0 ; + ?[ ).

;

ln x < 0 ? x < 1 (la fonction ln 1 ? ln x = 0 ? lnx = 1 ? x = e ; 1 ? ln x < 0 ? lnx > 1 ? x > e ; 1 ? ln x > 0 ? lnx < 1 ? x < e (la fonction ln étant strictement croissante sur ]0 ; + ?[ ). On en déduit le tableau de signessuivant : x
signe de ln x signe de 1 ? ln x signe de ln x )(1 ? ln x ) (

0

1

e
+ +

+?

?
+

0

+ 0 +

0

? ?

?

0

b) Pour étudier la position relatives des courbes C et C’ sur ]0 ; + ?[ , il suffit d’étudier le signe de f ( x ) ? g ( x ) sur cet intervalle.
2

Or f ( x ) ? g ( x ) = ln x ? ( ln x ) = ( ln x )(1 ? ln x ) ; alors on en déduit, d’après laquestion précédente que :

• sur ]0 1[ ? ]e ; + ?[ , la courbe C est en dessous de C’ ; • sur ]1 e[ , la courbe C est au dessus de C’ ; • si x = 1 et x = e , les courbes C et C’ se coupent.
2) a) La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ?[ et la fonction x ? x 2 est dérivable sur R,

alors la fonction g est dérivable sur ]0 ; + ?[ en tant que composée de deux fonctions dérivables. Donc, la fonctionh est dérivable sur ]0 ; + ?[ en tant que somme de deux fonctions dérivables sur ]0 ; + ?[ .

1 1 1 ? 2ln x 2 ?1 ? 2 × × ( ln x ) = . x x x Comme x est strictement positif, alors le signe de h? ( x ) dépend de celui de (1 ? 2ln x ) .
Soit x un réel strictement positif, h? ( x ) =
1

Or 1 ? 2ln x = 0 ? lnx =
1 ? 2ln x < 0 ? lnx > 1 2

1 2

? x = e2 = e

;

1 ? 2ln x > 0 ? lnx < 12 ? x< e ; ? x > e (la fonction ln étant strictement croissante sur

]0 ;

+ ?[ ) .

-1C. Lainé

Par conséquent, la fonction h est croissante sur ? 0 ; ? ? e ; + ?? . ? ?

e ? et est décroissante sur ?

b) Les points M et N ont pour coordonnées respectives ( x ; f ( x ) ) et ( x ; g ( x ) ) .

On en déduit que : MN =

la question 1). D’où : MN = f ( x ) ? g ( x ) = h ( x ) .Or, d’après la question précédente, la fonction h admet un maximum pour x = e . Par conséquent, sur l’intervalle [1 ; e ] , la valeur maximale de MN est obtenue pour

(g ( x ) ? f ( x ))

2

= g ( x ) ? f ( x ) . Or sur [1 ; e ] , f ( x ) ? g ( x ) d’après

x= e. c) L’intervalle d’étude est ]0 ; + ?[ . Posons X = ln x ; l’équation ( ln x ) ? ln x = 1 équivaut à X 2 ? X ? 1 = 0 .
2Calculons le discriminant : ? = ( ?1) ? 4 × 1× ( ?1) = 5 .
2

Comme ? > 0 , alors l’équation X 2 ? X ? 1 = 0 admet deux solutions 1? 5 1+ 5 X1 = et X 2 = . 2 2
Si X1 = Si X 2 = 1? 5 1? 5 , alors ln ( x1 ) = ; d’où x1 = e 2 2
1? 5 2

. .
1? 5 2

1+ 5 1+ 5 , alors ln ( x2 ) = ; d’où x2 = e 2 2
2

1+ 5 2

Par conséquent, l’équation (ln x ) ? ln x = 1 admet deux solutions x1 = e

etx2 = e

1+ 5 2

.

d) D’après la question 2) b), MN =

(g ( x ) ? f ( x ))
2

2

= g ( x ) ? f ( x ) . Or sur ]0 ; 1[ ? ]e ; + ?[ ,
2

f ( x ) < g ( x ) . Donc, sur ]0 ; 1[ ? ]e ; + ?[ , MN = ? ( f ( x ) ? g ( x ) ) = ?h ( x ) = ? ln x + ( ln x ) .
On en déduit que : MN = 1 équivaut à ( ln x ) ? ln x = 1, c’est-à-dire à x = e d’après la question précédente.
1? 5 2

ou à x = e1+ 5 2

1+ 5 2

Par conséquent, sur ]0 1[ ? ]e ; + ?[ , il existe deux réels a = e pour lesquels la distance MN est égale à 1. 3) a) Calculons
e

1? 5 2

et b = e

(a < b) ? 1 lnx dx . 1 ? ?u ? ( x ) = x. ? ?v ( x ) = x ? ?u ( x ) = ln x ? Posons ? . Alors ?v ? ( x ) = 1 ? Les fonctions u ?v , uv ? et ( uv )? sont continues et dérivables sur [1 ; e ] , d’après la méthodede l’intégration par parties : ? e 1 ln x dx = [ x ln x ]1 ?
e

?

e

1

x×

1 e dx = eln e ? [ x ]1 = e ? e + 1 = 1 . x

-2C. Lainé

b) La fonction G est dérivable sur ]0 ; + ?[ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur ]0 ; + ?[ . Soit x un réel strictement positif. 1 2 ? G ? ( x ) = 1× ?( ln x ) ? 2ln x + 2 ? + x × ? 2 × × ( ln x ) ? 2 × ? ? x ?
2…