Poly pcem1 07
Universit´ Paris 7 e Facult´ de M´decine Xavier Bichat – Lariboisi`re e e e
Ann´e 2007–2008 e
´ 2 COURS DE MATHEMATIQUES EN PCEM 1 ´ PRELIMINAIRES DU COURS DE PHYSIQUE
PIERRE ARNOUX
Ces notes reprennent et compl`tent ce qui a ´t´ fait en cours. e ee Elles d´bordent un peu les connaissances n´cessaires; il est utile de les lire, mais il n’est pas e e n´cessaires de les apprendre parcoeur. En particulier, les diverses formules de Taylor, les d´veloppements e e en s´ries et la solution g´n´rale des ´quations di?´rentielles lin´aires ` coe?cients constants ne sont e e e e e e a pas exigibles ` l’examen. a Ce polycopi´ doit servir comme r´f´rence pour les techniques math´matiques utilis´es dans les e ee e e exercices de physique; si vous arrivez a faire les calculs qui interviennentdans ces exercices, vous ` maˆ ?trisez les outils math´matiques n´cessaires. e e Les deux ?chiers au format pdf qui reprennent le cours ne sont pas destin´s ` ˆtre imprim´s (ils e ae e font plus de 400 pages en tout) mais peuvent ˆtre regard´s sur ´cran, et leurs ?gures compl´mentent e e e e utilement le pr´sent polycopi´. e e
Date: September 30, 2007.
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Cours 1: fonctions d’une variabler´elle e
´ ´ 1. Fonctions d’une variable reelle: continuite, limites 1.1. Introduction. 1.1.1. Pourquoi ´tudier les fonctions d’une variable r´elle? e e Dans la plupart des sciences, on est amen´ ` ´tudier des grandeurs qui varient en fonction d’autres e a e grandeurs; par exemple, l’´nergie en fonction de la temp´rature et de la pression: E(P, T ). Il est ´videmment e e e int´ressant d’´tudierces variations, mais pourquoi se limiter ` une variable? On peut donner trois raisons: e e a (1) Il est naturel de commencer par le cas le plus simple. (2) Il y a un cas particulier tr`s important, qui est ` une dimension, c’est celui d’une variable qui d´pend e a e du temps. (3) On verra en?n que, pour ´tudier des fonctions de deux variables ou plus, l’une des proc´dures de base e e est de ?xertoutes les variables sauf une, et donc de se ramener ` ´tudier des familles param´tr´es ae e e de fonctions d’une variable r´elle. En ce sens, l’´tude des fonctions d’une variable r´elle est un e e e pr´liminaire indispensable ` l’´tude des fonctions de plusieurs variables. En particulier, tous les e a e calculs se ram`nent ` des calculs sur les fonctions d’une variable. e a Par ailleurs, il y a unpoint important: les fonctions que l’on voit classiquement (exponentielle, logarithme, fonction gaussienne. . .) peuvent sembler compliqu´es; on pourrait croire que la r´alit´ est plus simple, et que e e e l’analyse apporte des complications super?ues. Il faut savoir que c’est le contraire: les mod`les que l’on e propose sont un mod`le simple d’une r´alit´ en g´n´ral plus complexe! e e e e e Parexemple, si l’on prend l’´volution d’une population de bact´rie dans un milieu nutritif abondant, on e e a vu en terminale qu’on peut la repr´senter par une fonction N (t) qui ob´it, au moins au d´but, ` l’´quation e e e a e N (t) = kN (t), o` N repr´sente la population. Or c’est ´videmment faux: si N est le nombre de bact´ries, u e e e c’est une fonction ` valeur enti`re, qui est donc discontinueet ne peut avoir de d´riv´e! Si on voulait donner a e e e un mod`le qui repr´sente parfaitement la r´alit´, on aboutirait ` quelque chose de tr`s compliqu´, et de e e e e a e e probablement inutilisable. Le mod`le donn´ ci-dessus est tr`s simple, et approxime tr`s bien la r´alit´. e e e e e e 1.1.2. Quelques points d’histoire. La notion de fonction telle que nous la connaissons s’est d´gag´elentement, et la th´orie s’est d´velopp´e e e e e e en fait ` l’envers de la fa¸on dont on l’enseigne aujourd’hui, c’est-`-dire du particulier au g´n´ral. a c a e e Jusqu’au 18`me si`cle, les math´maticiens ´tudient des formules; ` l’´poque, une fonction telle que la e e e e a e fonction qui vaut 1 sur l’intervalle [0, 1] et 0 ailleurs n’est pas imaginable. Au d´but, il s’agit essentiellement de…