Tbee
http://maths-sciences.fr
Bac Pro indus
CALCUL VECTORIEL – PRODUIT SCALAIRE
I) Vecteurs dans le plan L’utilisation des vecteurs dans le plan facilite les travaux sur certaines grandeurs physiques. 1) Définir un vecteur – sa direction : la direction du vecteur u est la droite (AB). – son sens : le sens du vecteur u est de A vers B. – sa norme : la norme du vecteur u notée : u est la mesurede la longueur du segment [AB] 2) Réaliser la somme ou la différence de deux vecteurs Réaliser une construction géométrique
u+v u ?v
u
u
v
v
3) Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans un repère orthonormal Réaliser un calcul ; les coordonnées de AB sont (x ; y) d’où AB = xi + y j ou
AB = ( xB ? x A ) i + ( yB ? y A ) j
4) Calculer la norme d’un vecteur dans un repèreorthonormal Remplacer les valeurs des coordonnées du vecteur u = AB dans l’une des expressions littérales ci-dessous, puis calculer la norme du vecteur u : u = x ² + y ² = ( xB ? x A )² + ( yB ? y A )² II) Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan Le produit scalaire des vecteurs u et v du plan est le nombre réel noté u ? v . 1) Calculer le produit scalaire de deux vecteurs Il faut utiliser l’unedes expressions suivantes. – Expression du produit scalaire en fonction des normes des vecteurs : Pour deux vecteurs u et v , le produit scalaire u ? v est le nombre:
2 2 2 1? u+v ? u ? v ? ? ? ? 2?
Cours sur le calcul vectoriel
1/4
http://maths-sciences.fr
Bac Pro indus
– Expression analytique du produit scalaire : Pour deux vecteurs u et v , de coordonnées (x; y) et (x’; y’) dansun repère orthonormal, le produit scalaire u ? v est le nombre : x × x ‘+ y × y ‘ – Expression géométrique du produit scalaire : Pour deux vecteurs u et v , formant un angle u ; v , le produit scalaire u ? v est le nombre : u × v × cos u ; v
Notation : u ? v se lit « vecteur u scalaire vecteur v ». Remarques : – si u ? v > 0 alors l’angle u ; v est aigu
(
(
)
)
( ) – si u ? v < 0alors l'angle ( u ; v ) est obtu
2 2
Le carré scalaire d’un vecteur est le carré de sa norme : u ? u = u = u .
2) Propriétés du produit scalaire
Pour tous vecteurs u , v et w et pour tout nombre ? réel : ? u ?v = ?u ?v ; u ? v + w = u ?v + u ? w
( )
(
)
3) Montrer que deux vecteurs u et v non nuls sont orthogonaux
Si le produit scalaire u ? v = 0 alors les vecteurs u et vsont orthogonaux. ( u ? v ).
III) Application du produit scalaire Certaines questions de problèmes se résolvent à partir du calcul du produit scalaire de deux vecteurs du plan. 1) Calculer la mesure ? de l’angle u ; v
(
)
Pour deux vecteurs non nuls u (x, y) et v (x’, y’) : – Calculer le produit scalaire u ? v = xx ‘+ yy ‘ – Calculer le cosinus de l’angle ? en utilisant la relationsuivante
cos ? =
u ?v
u × v
=
xx ‘+ yy ‘ x ² + y ² ? x ‘ ² + y ‘²
– Calculer la mesure de l’angle ? en utilisant les touches INV et COS
Cours sur le calcul vectoriel
2/4
http://maths-sciences.fr
Bac Pro indus
2) Déterminer une équation d’un cercle de centre A et de rayon R donné – Déterminer l’ensemble des points M(x, y) tel que: AM
2
= R² .
Si A a pour coordonnées(a, b), alors AM a pour coordonnées (x – a, y –- b), d’où une équation 2 2 du cercle : ( x ? a ) + ( y ? b ) = R 2
3) Déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à une droite (AB) au point A – Déterminer l’ensemble des points M(x, y) tels que : AB ? AM = 0 . Exemple : On considère les points A(2 ; -6) et B(0 ; 2).
On cherche à déterminer une équation cartésienne de la droiteperpendiculaire à la droite (AB) au point A. Pour cela, on détermine l’ensemble des points M(x, y) tels que:
AB ? AM = 0 avec AB (-2 ; 8) et AM (x – 2 ; y + 6), d’où : – 2(x – 2) + 8(y + 6) = 0
c’est-à-dire : – x + 4y + 26 = 0.
IV) Vecteurs dans l’espace (dimension 3) L’utilisation des vecteurs dans l’espace facilite les travaux sur certaines grandeurs. 1) Coordonnées d’un point dans…