Tableau de karneau

CCF DE MATHEMATIQUE

NO 3

REALISATION D’UN PRORAMME INFORMATIQUE : LE DIAGRAMME DE KARNAUGH

I)

PARTIE COURS Préambule :

• L’algèbre de Boole Un mathématicien britannique Georges Boole qui, durant le milieu du XIXe siècle qui est le père fondateur de la logique moderne, restructura complètement la logique en un système formel. L’algèbre de Boole ou calcul booléen est la partie desmathématiques, de la logique et de l’électronique qui s’intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques. Les propriétés de l’algèbre de Boole nous amène à considérer les notions de variable binaire, variable logique et fonction logique. Les variables booléennes binaires s’expriment selon 2 états logiques. Ces états peuvent prendre les valeurs 1 ou 0. Une fonction logique est lerésultat de la combinaison (logique combinatoire) d’une ou plusieurs variables logiques reliées entre elles par des opérations mathématiques booléennes bien définies : La valeur résultante de cette fonction dépend de la valeur des variables logiques, mais de toute façon cette résultante ne peut être que O ou 1. Une fonction logique possède donc une ou des variables logiques d’entrée et unevariable logique de sortie. Cette fonction logique se note par une lettre comme en algèbre. • La table de vérité Une table de vérité est la représentation de l’évolution du comportement d’un système automatisé en fonction des variations de ses entrées. Chacune des variables est représentée sous une écriture binaire. Une table de vérité s’utilise principalement en logique combinatoire. Elle estreprésentée sous la forme suivante :

1

Le nombre de combinaisons possibles des variables se calcule de la façon suivante : 1 variable d’entrée 21 = 2 combinaisons de sortie, 2 variables d’entrée 22 = 4 combinaisons de sortie n variables d’entrée 2n combinaisons de sortie • Fonctions logiques Les fonctions logiques sont des opérateurs logiques. C’est à dire qu’en fonction d’une ou plusieurs variablesdonnées, ils vont répondre par une sortie particulière.

Fonction OUI – Equation : S = a – S reproduit la variable d’entrée a.

Table de vérité:

a 0 1

S 0 1

2

Fonction ET – Equation : S = a . b – S reproduit le produit des variables d’entrée a et b.

Table de vérité : a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 S 0 0 0 1

Fonction OU S=a+b S reproduit la somme logique des variables d’entrée a et b.Table de vérité: a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 S 0 1 1 1

3

Tableaux de Karnaugh
Une méthode de simplification d’expression booléenne est le tableau de Karnaugh. La réduction, pour une même expression, du nombre d’opérateurs et/ou du nombre de Variabes exprimées conduit à une écriture simplifiée de cette expression. • Définition Un tableau de Karnaugh est un tableau représentatif du comportementd’une variable. Ce tableau a pour but de simplifier l’écriture de l’équation de fonctionnement. Il est utilisé principalement en logique combinatoire. Dans ce tableau chaque case correspond à une combinaison d’entrées de la variable. Dans chaque case on reporte l’état de la variable [0,1]. Le nombre de cases, constituant le tableau, est donc fonction du nombre de variables qui peut prendre deux états :«1» ou «0». Le nombre de combinaisons possibles: Nb = 2n (n = nombres de variables). • Construction du tableau de Karnaugh L’idée de KARNAUGH est d’associer une surface à chaque combinaison des variables, en adoptant la représentation suivante :

TABLEAU DE KARNAUGH A UNE SEULE VARIABLE (Selon la fonction OUI de la table de vérité) Soit X = a; a 0 1 1 Nb = 2^1= 2 cases.

TABLEAU DE KARNAUGH ADEUX VARIABLES Soit X = {a,b}; b 0 a 0 1 1 Nb = 2^2 = 4 cases

4

TABLEAU DE KARNAUGH A TROIS VARIABLES : Soit X = {a,b,c}; b 00 a 0 1 01 Nb = 2^3 = 8 cases 11 10

• Fonction dans un tableau de Karnaugh Nous devons écrire un « 1 » dans toutes les cases qui vérifient chaque terme de l’équation, Dans chacune de ces cases sera inscrite la valeur de la fonction pour la combinaison de…