Samaman

Vecteurs coplanaires

Théorème en jeu :
Soit [pic], [pic] et [pic] trois vecteurs de l’Espace.
Les vecteurs [pic], [pic] et [pic]sont coplanaires si et seulement si il existe trois réels non tous nuls tels que a [pic]+ b [pic] + c [pic] = [pic] .

On répond à laquestion suivante : Existe-t-il trois réels tous non nuls tels que a[pic]+ b[pic]+c[pic]=[pic] ?
On construit alors un système dont lesinconnues sont a, b et c.
Si la solution du système est le triplet de réels non tous nuls alors les vecteurs sont coplanaires ;
Sila solution du système est l’unique triplet (0,0,0) alors les vecteurs ne sont pas coplanaires

Application : Soit [pic]une base del’espace.
[pic], [pic], [pic]sont trois vecteurs de l’espace tel que : [pic], [pic], [pic].
Les trois vecteurs [pic], [pic], [pic] sont-ilscoplanaires ?

Soit a, b et c trois réels. Existe-t-il trois réels tous non nuls tels que a[pic]+ b[pic] + c[pic]=[pic] ?
Autreformulation : Est ce que je peux les trouver tous différents de 0 tels que [pic] ?
a[pic]+ b[pic] + c[pic]=[pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic]. Il restealors à donner une valeur arbitraire à a, ici a = 2.
On peut alors choisir par exemple le triplet [pic]. Il vérifie le système. Il existedonc 3 réels tous non nuls qui vérifient a[pic]+ b[pic] + c[pic]=[pic] .
Les vecteurs [pic],[pic] ,[pic]sont donc coplanaires.