Point de toricelli

I. Position du problème
II. Etude d’une condition d’existence et d’unicité
III. Cas (presque) général
IV. Pour aller plus loin——————————————————————————–
I. Position du problème
On considère un triangle ABC d’un plan euclidien. On se propose de construire, si c’est possible, un point M tel que la somme des distances MA+MB+MC soitminimale.

II. Etude d’une condition d’existence et d’unicité
– Données :

On identifie le plan à l’ensemble C des nombres complexes: on munit le plan d’un repère orthonormé (O;u,v) et à tout pointM=O+xu+yv on associe son affixe z=x+iy.
On note a, b et c les affixes de A, B et C, que l’on suppose non nulles. On se donne également trois points P, Q et R d’affixes p, q et r définies par:p=|a|/a
q=|b|/b
r=|c|/c

– Etude du triangle PQR :

Remarquons d’abord que les point P, Q et R sont situés sur le cercle unité (c’est à dire |p|=|q|=|r|=1).

En effet, on a:|p|=||a|/a|=|a|/|a|=1
et de même |q|=1 et |r|=1.

Soit H le point d’affixe h=p+q+r. Montrons que H est l’orthocentre du triangle PQR.

En effet, la définition de H par son affixe s’écrit h-r=p+q. En notant Q’ lepoint d’affixe -q, Il vient l’égalité vectorielle H-R=P-Q’. Or Q’ est le point du cercle unité diamétralement opposé à Q, donc le triangle PQQ’ est rectangle en P. Les vecteurs P-Q et P-Q’ sont doncorthogonaux; il en est de même des vecteurs P-Q et R-H, donc H appartient à la hauteur de PQR issue de R. On montre de même que H est un point de chacune des hauteurs de PQR; H est donc l’orthocentre dePQR.

Enfin, remarquons que le triangle PQR est équilatéral si et seulement si son orthocentre H et le centre O de son cercle circonscrit (c’est à dire du cercle unité) sont confondus, c’est à diresi h=p+q+r=0.
– Etude du problème lorsque PQR est équilatéral :

Nous supposerons dans la suite du paragraphe que la relation p+q+r=0 est vérifiée.

Remarquons d’abord que la quantité…