Méthode de pivot
Leçon 3 : Résolution des systèmes d’équation linéaires : la méthode du pivot
Comme promis dans la leçon précédente, nous allons présenter ici un moyen systématique pour résoudre des systèmes d’équations linéaires. La méthode que nous allons exposer pourra paraître fastidieuse à un certain nombre de lecteurs. Certains auront l’habitude d’autres méthodes « personnelles », d’autres connaîtront « lasolution par cœur » et sauront résoudre les équations en appliquant la méthode du déterminant, ou . . . Ce qu’il faut bien comprendre, c’est que cette méthode sera précisément appliquée dans les 3 prochaines leçons. Faire l’impasse sur cette leçon par esprit d’indépendance, c’est se mettre dans la position de ne rien comprendre aux trois leçons suivantes. Alors . . . Courage Dans un poulailler,il n’y a que des poules et des lapins. On compte 18 têtes et 50 pattes : combien y a-t-il de poules et de lapins ? Problème type du Certi?cat d’Etudes, il se résout en trois étapes : Première étape dite de FORMALISATION Il s’agit ici de traduire « sous forme mathématique » un texte littéraire : par exemple : Appelons x le nombre de poules et y le nombre de lapins, il s’agit de trouver x et y tels que: ½ x + y = 18 il y a 18 têtes 2x + 4y = 50 il y a 50 pattes Deuxième étape dite de RESOLUTION Il s’agit ici, concrètement, de trouver les valeurs de x et de y : par un argument compliqué on montrera que x = 11 et y = 7 Troisième étape dite d’INTERPRETATION Il s’agit ici d’interpréter ou de commenter les résultats de la deuxième étape : ½ x = 11 il y a 11 poules y=7 il y a 7 lapins
Des troisétapes, la seule dont vous pouvez con?er l’exécution à un ordinateur est la deuxième : preuve qu’il s’agit là de l’étape la moins intelligente ou, si l’on préfère, la plus automatisée. L’objet de cette leçon est d’apprendre à traiter la deuxième étape : comment résoudre un système de plusieurs équations à plusieurs inconnues. Il n’y a pas de méthode pour apprendre les deux autres étapes. Tout iciest a?aire d’habitude et de ruse. Cet art ne s’acquiert que par l’entraînement. Résolution de l’exemple : Restons pragmatiques et supposons que nous connaissions la valeur de y : ½ de la première équation, on tirerait immédiatement x = 18 ? y de la seconde équation, on tirerait : x = 25 ? 2y
Bien entendu, ces deux calculs di?érents doivent donner à x la même valeur : y est donc un nombre quidonne la même valeur à 18 ? y et à 25 ? 2y. Soit : 45
18 ? y = 25 ? 2y
d’où l’on tire immédiatement
y=7
Connaissant la valeur de y, on trouve la valeur de x ½ x = 18 ? 7 = 11 avec la première équation x = 25 ? 2(7) = 11 avec la seconde équation Bien entendu ces deux résultats coïncident : x = 11 et y=7
Interprétation : il y a dans le poulailler 11 poules et 7 lapins. Ce raisonnementdoit être un peu « canalisé ». Nous allons pour cela donner des Règles de Calcul qui permettent de faire des transformations licites des systèmes d’équation. Nous partirons d’un exemple pour comprendre la logique du raisonnement : Soit à résoudre le système : ? ? 5x + 4y + 3z = 12 8x + 2y ? z = 9 ? 7x + 2y + 4z = 13
Résoudre ce système signi?e qu’il faut trouver tous les triplets (x, y, z) denombres pour lesquels les trois égalités sont vraies simultanément. Pour ce faire, nous allons transformer ce système en un système équivalent (nous dé?nirons ce mot plus loin) grâce à des calculs qui obéissent à TROIS REGLES. Règle 1 On ne modi?e pas une égalité en ajoutant le même nombre aux deux membres de l’égalité. Règle 2 On ne modi?e pas une égalité en multipliant par un même nombre non nul lesdeux membres de l’égalité Règle 3 On ne modi?e pas un système d’équations en remplaçant une équation par sa somme avec une autre Ces règles sont d’une application simple, et nous verrons plus loin comment les enchaîner pour résoudre les systèmes linéaires. Prenons la règle 1 : Elle a?rme que les égalités ? 5x + 4y + 3z = 12 ? et ? 5x + 4y + 3z + 10 = 22
sont identiques, puisqu’on a rajouté…