La religion dans les liaisons dangereuses

FAugsburger 2010/11

Quatrième année

I Géométrie dans l’espace
Corrigé d’exercices
1.6 (1) La valeur du paramètre correspondant au point A est t = 5 (2) Le plan ? passe par les points D(?1;13; ?10) et B(6; 11; ?2) et admet comme vecteurs directeurs ? ? ? ? 1 7 ?? ? ? ? ? ? d = ??2? et DB = ??2?. Ainsi, un vecteur normal n de ? s’obtient facilement 2 8 ?12 ?? ? ? ? d × DB = ? 6 ? 12
? ? ?Puisque B(6; 11; ?2) ? ?, on a

2 ? ? ??1? = n ?2

?

2 · 6 ? 1 · 11 ? 2 · (?2) + d = 0 ? d = ?5 1 2 ? ? ? ? ? ? ? (3) L’angle cherché correspond à l’angle aigu formé par d = ??2? et AB = ?8 ? : 2 ?2 ? = arccos ? ? ? |d • AB| ? ? ? d · AB = arccos |2 ? 16 ? 4| ? ? 9 · 72 = 45 ? et ?nalement ? : 2x ? y ? 2z ? 5 = 0
? ? ? ?

(4) On a C ? d ? C(?1 + t; 13 ? 2t; ?10 + 2t). Le triangleABC devant être isocèle en C, on a ? ? ?? ? ? ? ?? ? AC = BC ? AC 2 = BC 2 ? (t ? 5)2 + (10 ? 2t)2 + (2t ? 10)2 = (t ? 7)2 + (2 ? 2t)2 + (2t ? 8)2 ? ?36t = ?108 ? t = 3 (5) Pour l’aire du triangle ABC,on calcule 2 ?2 ?24 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? AB × AC = ? 8 ? × ? 4 ? = ? 12 ? ?2 ?4 24 AireABC = 1 ? ? ? ? ? 1 AB × AC = 2 2 (?24)2 + 122 + 242 = 18
? ? ? ? ? ?

d’où C(2; 7; ?4)

d’où

Le volumeV du tétraèdre ABCS s’obtient à l’aide du produit mixte : ?24 ?8 1 ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? V = |[AB; AC; AS]| = |AB × AC • AS| = | ? 12 ? • ? 4 ? | = |192 + 48 + 192| = 72 6 6 6 6 248
? ? x = ?4 + 2s ? ? ? z ? ? ? ?

(6) La droite n admet comme vecteur directeur le vecteur normal n du plan ? d’où n: y = 7?s = 8 ? 2s pour s ? R

1

2

Corrigé d’exercices

FA 10/11(7) On égale les équations de d et de n et on obtient un système de trois équations à deux inconnues :
? ? ?

En résolvant le système formé des deux premières équations ? et , on obtient t = 5 et s= 4. Un petit contrôle montre que le couple (5; 4) est également une solution de ?. Par conséquent, on obtient les coordonnées du point I en substituant t = 5 dans les équations de d (ou s = 4 dans…