Grth-rukuèk

Département de mathématiques L1S2 : physique – chimie Année 2007–2008

Algèbre linéaire
Cours magistral no 1 Chapitre 1 – Structure d’espace vectoriel

1 Dé?nition et représentation de Rn
Si n ? N? , on note Rn l’ensemble des suites ordonnées de n nombres réels. Une telle suite est appelée n-uplet1 réel. La suite des nombres réels x1 , x2 ,…, xn est le n-uplet réel noté (x1 , x2 , . . . ,xn ). Les nombres x1 , x2 ,…, xn sont appelées les coordonnées du nuplet réel (x1 , x2 , . . . , xn ). On dit que les n-uplets réel (x1 , x2 , . . . , xn ) et (y1 , y2 , . . . , yn ) sont égaux si on a toute les égalités x1 = y1 , x2 = y2 , . . . , xn = yn . Si n m, un n-uplet réel n’est jamais égal à un m-uplet réel.

Exemple 1– Souvenir des cours de lycée. Ce que vous avez appelé un «vecteur du plan » est caractérisé par ce que vous avez appelé ses « coordonnées ». Autrement dit, deux vecteurs du plan sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales. Le vocabulaire est compatible : un vecteur du plan est un élément de R2 . On justi?era le nom de vecteur par la suite. De même, un « vecteur de l’espace » est un élément de R3 .

2 Opérations dans Rn
Si u = (x1 , . . . ,xn ) et v = (y1 , . . . , yn ) sont deux éléments de Rn , on appelle somme de u et v le n-uplet réel noté u + v dé?ni par u + v = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ). Si n m, on ne sait pas additionner un n-uplet avec un m-uplet.

Exemple 2– Là encore, ce vocabulaire est compatible avec celui du lycée. Additionner deux vecteurs du plan ou de l’espace, c’est additionner leurs coordonnées.
1 On ditaussi couple si n = 2, triplet si n = 3, quadruplet si n = 4, quintuplet si n = 5.

1

Exemple 3– Dans R2 , on a (1, 2) + (7, 12) = (8, 14). Dans R5 , on a (1, 2, 3, 4, 5) + (?1, ?2, ?3, ?4, ?5) = (0, 0, 0, 0, 0). Si ? est un réel et u = (x1 , . . . , xn ) un n-uplet réel on appelle produit externe de ? par u le n-uplet réel noté ?u et dé?ni par ?u = (?x1 , . . . , ?xn ). Exemple 4– Cevocabulaire est toujours compatible avec celui du lycée. Multiplier un réel par un vecteur du plan ou de l’espace, c’est multiplier toutes les coordonnées de ce vecteur par ce réel. Exemple 5– Dans R3 , on a 2(10, 20, 30) = (20, 30, 60). Dans R7 , on a ? 12 24 36 84 132 156 204 (2, 3, ?5, 7, 11, 13, 17) = ? , ? , 12, ? , ? ,? , . 5 5 5 5 5 5 5

3 Opérations dans un ensemble quelconque
On véri?eraaisément que l’addition sur Rn est un cas particulier de la notion de loi de groupe dé?nie ci-dessous.

3.1

Loi de groupe

Si E est un ensemble, on dit qu’il est muni d’une loi de groupe + (appelée addition) s’il existe une façon d’associer à tous éléments u et v de E un troisième élément2 de E, noté u + v véri?ant les propriétés suivantes : a) la loi est associative : pour tous éléments u, v et wde E on a (u + v) + w = u + (v + w). Autrement dit, commencer par calculer r = u + v puis r + w donne le même résultat que commencer par calculer r = v + w puis u + r ; b) la loi est commutative : pour tous éléments u et v de E on a u + v = v + u. Autrement dit, étant donnés deux vecteurs, on obtient le même résultat en additionnant l’un à l’autre ou l’autre à l’un ;
2 On dit une application de E× E dans E.

2

c) la loi admet un élément neutre noté 0 : c’est un élément de E tel que, pour tout élément u ed E on a u + 0 = u. Autrement dit, additionner 0 est une opération neutre qui ne modi?e pas l’élément à qui on l’additionne ; d) tout élément de E admet un opposé3 pour la loi : pour tout élément u de E, il existe un élément v de E tel que u + v = 0. On note ?u l’élement v ; Exemple6– L’élément neutre de l’addition sur Rn est le n-uplet dont toutes les coordonnées sont nulles : (0, . . . , 0). L’opposé du n-uplet (x1 , . . . , xn ) est ?(x1 , . . . , xn ) = (?x1 , . . . , ?xn ). Notez que l’opposé ?(x1 , . . . , xn ) de (x1 , . . . , xn ) est le produit du réel ?1 par (x1 , . . . , xn ) : ainsi ?(x1 , . . . , xn ) = ?1(x1 , . . . , xn ). Par exemple, l’opposé dans R5 de…