Fonction

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FONCTIONS USUELLES
PLAN I : Fonctions exponentielles 1) Exponentielles et logarithmes 2) Fonctions trigonométriques hyperboliques 3) Réciproques des fonctions hyperboliques II : Fonctions circulaires 1) Fonctions trigonométriques 2) Réciproque desfonctions trigonométriques Annexe : trigonométrie I : Fonctions exponentielles 1– Exponentielles et logarithmes 1 u ln(x) est la primitive de définie sur ]0, +?[ et s’annulant en x = 1. Autrement dit : x x 1 ln(x) = ? ? t dt ?
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1 Sa dérivée étant strictement positive, ln est donc strictement croissante. La dérivée de ln(ax) valant x a 1 = , ln(ax) est égal à ln(x) + Cte. La valeur de Cte estobtenue en prenant x = 1, ce qui donne la ax x relation célèbre : ln(ax) = ln(x) + ln(a) Cette relation, transformant produit en somme, a permis, depuis le XVIIème et jusqu’à l’introduction des calculatrices à bas prix vers 1980 à accélérer notablement les possibilités de calcul des mathématiciens. Ainsi Laplace s’émerveille-t-il « des logarithmes, admirable instrument, qui, en réduisant à quelquesheures le travail de plusieurs mois, double si l’on peut dire la vie des astronomes, et leur épargne les erreurs et les dégoûts inséparables des longs calculs ». En prenant 1 a = , on obtient : x 1 ln( ) = – ln(x) x Etant strictement croissante, ou bien lim ln(x) = +? ou bien lim ln(x) = l limite finie. x ? +? x ? +? Comme, pour n entier, ln(2n) = nln(2) (récurrence facile) et que cette quantité tendvers +? quand n tend vers +?, la seule conclusion possible est : lim ln(x) = +? x ? +? -1-

Et donc, en considérant

1 : x lim ln(x) = –? x?0

ln réalise donc une bijection de ]0, +?[ sur ]–?, +?[. Sa réciproque est l’exponentielle : t = ln(x) ? x = et e 1 Le nombre e est tel que 1 = ln(e) soit ? ? t dt = 1. e vaut environ 2,71828… ?1 Les limites relatives à ln se traduisent pourl’exponentielle de la façon suivante : lim ex = +? x ? +? lim ex = 0 x ? –? La règle de dérivation d’une fonction réciproque (cf le chapitre Dérivation dans le fichier DERIVEE.PDF) conduit à : (ex)’ = ex x+y x y On a également e = e e puisqu’en prenant les logarithmes des deux membres, on obtient : ln(ex+y) = x + y alors que : ln(ex ey) = ln(ex) + ln(ey) = x + y u Pour tout a strictement positif et b, onposera ab = eln(a)b. Cette définition est compatible avec le calcul des puissances de a, puisque, pour n entier, on a : eln(a)n = eln(a) + ln(a) + … + ln(a) avec n exposant ln(a) = eln(a) × eln(a) × … × eln(a) = a × a × … × a = an On a alors ln(ab) = b ln(a), et également (ex)y = exy obtenu en prenant a = ex et b = y dans la formule donnant ab. On a enfin, pour a > 0 et différent de 1 : ln(x)x = at ? x = eln(a)t ? ln(x) = ln(a)t ? t = ln(a) ln(x) at est l’exponentielle de t en base a et est le logarithme de x en base a. Le logarithme le plus ln(a) utilisé en dehors du logarithme en base e (dit népérien) est le logarithme décimal, pour lequel a = 10, et que l’on note souvent log10, voire même log. Si u est une fonction strictement positive, et v une fonction quelconque, on a :u(x)v(x) = ev(x) ln(u(x)) La deuxième forme peut servir à dériver la fonction ou à en calculer les limites. u Un certain nombre de limites usuelles doivent être connues : ln(x) ln(x) = 0 et plus généralement lim (i) lim a = 0 pour tout a > 0 x ? +? x x ? +? x (ii) lim xln(x) = 0 et plus généralement lim xaln(x) = 0 x?0 x?0 x e ex (iii) lim = +? et plus généralement lim a = +? pour tout a > 0 x ? +? x x…