Fonction tangente

DM

ÉTUDE DE LA FONCTION TANGENTE
Le but de ce devoir est d’étudier la fonction tangente et d’en établir quelques propriétés.

TS

1. Résoudre, sur ]-p ; p], l’équation :

cos x = 0

En déduire toutes les solutions, sur ?, de cette équation. 2. On considère la fonction tangente, notée tan, et définie par : sin x p pour x Î D où D = ? { + kp, k Î ?} cos x 2 r r On note C sa courbereprésentative dans un repère orthogonal (O, i , j ) tan x = a. Étudier la parité de cette fonction. b. Démontrer que la fonction tangente est p-périodique. c. Expliquer pourquoi on peut se contenter d’étudier la fonction tangente sur l’intervalle I = [0 ; 3. Étudier les limites de la fonction tangente en 0+ et en p. 2 p [. 2

En déduire que la courbe C admet une asymptote D dont on précisera lanature et l’équation. 4. Compléter le tableau suivant :
x tan x (On donnera les valeurs exactes) 0
p 6 p 4 p 3

5. Montrer que, pour tout x Î I : tan’ x = 1 = 1 + tan2 x cos2 x

En déduire le tableau de variations de la fonction tangente sur l’intervalle I. 6. a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0. b. Démontrer que pour tout x Î I, on a : tan x ? x(On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur I par g(x) = tan x – x)

c. En déduire, la position relative de la courbe C par rapport à sa tangente T. 7. Tracer, très soigneusement, les droites D et T puis la courbe C. (On se placera entre les bornes -2p et 2p) 8. On rappelle que pour tous réels a et b, on a les formules d’additions suivantes : cos(a + b) = cos a cos b – sin a sinb sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b En déduire une formule liant tan(a + b) à tan a et tan b. (Pour des réels a et b tels que a Î D, b Î D et a + b Î D) 9. Démontrer que pour tout a Î ]0 ; p [, on a : 2 tan a = En déduire la valeur exacte de tan p p et de tan . 8 12

1 – cos(2a) sin(2a)

TS DM : fonction tangente

DM 1. On a : D’où :

ÉTUDE DE LA FONCTION TANGENTE : CORRIGÉ S]-p; p]= {S? = {p p ; } 2 2

TS

p p + 2kp où k Î ?} È { + 2kp où k Î ?} 2 2 p Ce que l’on peut encore écrire : S? = { + kp où k Î ?} 2 2. a. D est un ensemble symétrique par rapport à 0 et pour tout x Î D, on a : sin( – x ) sin x tan(–x) = =– = -tan x cos(- x ) cos x Ce qui prouve que la fonction tangente est impaire sur D. b. Pour tout x Î D, on a x + p Î D et : sin( x + p) sin x = = tan x cos( x+ p) cos x La fonction tangente est donc p–périodique. tan(x + p) = c. Comme la fonction tangente est p–périodique, on peut se contenter de l’étudier sur une période, par exemple ]p p ; [. Comme elle est, de plus, impaire, on peut encore couper l’intervalle d’étude en deux 2 2 p p [. L’étude sur ]- ; 0] s’en déduira par symétrie par rapport à l’origine du 2 2 lim sin x = 0 et lim + cos x = 1
x® 0x® 0 +

et ne l’étudier que sur [0 ; repère. 3. On sait que : Donc, par quotient : On sait que : Donc, par quotient :

x® 0 +

lim tan x = 0 lim – cos x = 0 avec cos x > 0
x® p 2 p 2

lim – sin x = 1 et
x® p 2

lim – tan x = +¥
x®

La courbe C admet donc une asymptote verticale D d’équation x = 4. D’après les valeurs remarquables du sinus et du cosinus, on a :
x tan x 0 0
p 6 3 3p 4

p . 2
p 3 3

1

5. La fonction tan est de la forme

u où u = sin et v = cos. v u’ v – uv ‘ Sa dérivée tan’ sera donc égale à , ce qui donne pour x Î I : v2 cos x cos x – sin x ( – sin x ) tan'(x) = cos2 x 2 2 Et comme cos x + sin x = 1, il vient : 1 tan'(x) = cos2 x Par ailleurs : D’où : 1 + tan2 x = 1 + 1 sin 2 x cos 2 x + sin 2 x = = 2 2 cos2 x cos x cos x tan'(x) = 1 + tan2 xTS DM : fonction tangente

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1 est strictement positif pour tout réel x de I, on en déduit que la fonction cos2 x tangente est strictement croissante sur I : Sens de variation : puisque x 0 signe de tan’ variations de tan 0 6. a. Une équation de la tangente à une courbe représentant une fonction ¦ dérivable en x0 est donnée par : y = ¦(x0) + ¦'(x0)(x – x0) Avec x0 = 0, cela donne : y…