Echantillonage

STS

AVA

Échantillonnage
-A-Théorème de la limite centrée.
-A.I-Exemple:
Considérons pour la suite X i une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes X ? X 2 ??? X n une loinormale N ? ? ;? ? et notons X n= 1 . n On sait que X 1 ? X 2 ??? X n suit une loi normale et que E ? X 1? X 2??? X n ? =E ? X 1 ??E ? X 2 ? ???E ? X n ?=?????=?=n ? ? et que
1?i? n

V ? X 1? X 2???X n ? =V ? X 1 ? ?V ? X 2 ? ???V ? X n ?=? 2?? 2 ???? 2 =n ? 2 ?
n termes

n termes

Ainsi X 1 ? X 2 ??? X n suit une loi normale N ? n ?; ? n ? ? et par conséquent, X ? X 2 ??? X n ? suit uneloi normale N ?; X n= 1 ?n n

?

?

Observations:

-A.II-Théorème.

1. Plus on prendra n grand , plus l’écart type se réduira. X n ?? X ?? =? n n 2. la variable aléatoire ? suit une loinormale N ? 0 ;1 ? centrée réduite. ? ?n

?

?

Théorème de la limite centrée:

Soit X 1 ; X 2 ;?; X n n variables aléatoires indépendantes suivant des loi identiques, admettant pour espérance ? etpour écart-type ? . Pour n suffisamment grand, la variable aléatoire X 1 ? X 2 ??? X n X n= n ? suit approximativement la loi normale N ?; . ?n Remarque: Les X i ne sont pas obligés de suivre une loinormale pour que X n s’en rapproche lorsque n devient « grand ».

?

?

Échantillonnage

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STS

AVA

-A.III-Application:
a)distribution d’échantillonnage de la moyenne
Considéronsune population d’effectif N dont un caractère a pour moyenne m et d’écart-type ? . En prélevant un échantillon de n individus, si on considère que chacun des tirages de l’échantillon a été effectuéavec remise , les valeurs prises par le caractère pour chaque individu sont des variables aléatoires X i indépendante de même moyenne m et écart-type ? . X ? X 2??? X n la variable aléatoire X n= 1associe à cet échantillon sa moyenne, et plus n généralement à tout échantillon sa moyenne. Daprès le théorème de la limite centrée on a la

Loi d’échantillonnage des moyennes:
Considérons une…