Derive
Quelques notions de base
1. Mesure des angles On peut mesurer les angles en degrés, en grades, en tours ou en radians, la conversion se faisant selon le barème suivant : 360 degrés = 400 grades = 1 tour = 2? radians. Le radian vient naturellement lorsqu’on considère que la longueur d’un arc de cercle est proportionnelle à l’angle au centre qui le sous-tend : si l’angle au centre a une mesure ? ,selon l’unité choisie, on trouvera pour la longueur de l’arc sous-tendu (le rayon étant de longueur R) : L = 2? R L = 2? R
?
360
?
400
L = 2? R? L = R?
La dernière expression étant manifestement la plus condensée / la plus simple. De cette définition, il résulte qu’un angle au centre d’un radian sous-tend un arc de longueur R, soit un peu moins du sixième de la circonférence ; ilcorrespond donc à un peu moins de 60°, plus exactement 57° 17′ 44″. Voici la table de conversion pour quelques angles courants : 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330° ?/6 ?/3 2? / 3 5? / 6 7? / 6 4? / 3 5? / 3 11? / 6 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° ?/4 ?/2 3? / 4 ? 5? / 4 3? / 2 7? / 4 2?
La plupart des calculatrices, y compris celle figurant dans les programmes accessoires de Windows,permettent de choisir l’unité employée pour exprimer les angles. Le tableur Excel fonctionne aussi en radians. Si on exprime les fonctions trigonométriques par un développement en série du type :
sin ? = ? ? cos ? = 1 ?
?3
3!
+ +
?5
5!
? ?
?7
7!
+ … = ? ( ?1)
n=0 ?
?
n
( 2n + 1)! ( 2n ) !
? 2n
? 2 n +1
?
2
?
4
?
6
2!
4!
6!
+ … = ? (?1)
n =0
n
l’expression ainsi écrite ne vaut que si l’angle est exprimé en radians. Finalement, on peut encore relever que, tout comme les expressions x2 et x3 qui désignent au départ respectivement l’aire d’un carré de côté x et le volume d’un cube d’arête x peuvent être calculées hors de ce contexte, rien ne s’oppose à calculer le sinus ou le cosinus d’un nombre
quelconque. Cesfonctions sont omniprésentes dans la description de phénomènes oscillatoires ou ondulatoires. 2. Dérivées On ne donnera ici que des indications pratiques, sans démonstration. 2.1. Qu’est-ce que c’est ? La dérivée d’une fonction f(x) est donnée par : f ( x + ? x) ? f ( x) df ?f = lim =lim ? x dx ? x?0 ?x déf ? x ?0 On peut écrire indifféremment Par exemple, si f(x) = x3 :
f ( x ) = x3 f ( x + ? x) = ( x +? x)
3
df d ou f , le choix s’effectuant le plus souvent sur des dx dx critères de clarté typographique.
? ? 2 2 3 ? ? ? f = 3 x ? x + 3 x? x + ? x 3 2 2 3 = x + 3 x ? x + 3 x? x + ? x ? ?
?f = 3 x 2 + 3 x? x + ? x 2 ?x ?f 2 lim ? x = 3x ? x ?0
Il résulte de cette définition que la dérivée d’une fonction constante est nulle. 2.2. Quelques dérivées typiques
d m x = mx m ?1 dx d sin x =cos x dx d cos x = ? sin x dx d x e = ex dx d 1 ln x = dx x
L’expression donnée pour les dérivées de fonctions trigonométriques ne vaut que lorsque leur argument est exprimé en radians. Lorsqu’une fonction résulte de la somme de plusieurs fonctions, sa dérivée est la somme des dérivées de chaque terme :
F ( x ) = f1 ( x ) + f 2 ( x ) ? dF ( x ) dx dF ( x ) dx
=
df1 ( x ) dx
+
df 2( x ) dx df 2 ( x ) dx
Pour les produits et les quotients, c’est un peu plus compliqué. On a :
F ( x ) = f1 ( x ) f 2 ( x ) ?
=
df1 ( x ) dx
f 2 ( x ) + f1 ( x )
et :
F ( x) =
f2 ( x )
f1 ( x )
?
df1 ( x ) df ( x ) f 2 ( x ) ? f1 ( x ) 2 dF ( x ) dx = dx 2 dx ? f 2 ( x )? ? ?
On peut considérer un exemple pour lequel la vérification est aisée. Si on prend :
f1( x ) = x 2 ? ? ? F ( x ) = f1 ( x ) f 2 ( x ) = x 7 5? f2 ( x ) = x ? ?
on peut calculer directement :
dF ( x ) dx dx 7 = = 7 x6 dx
on peut aussi calculer :
df1 ( x ) ? dx 2 = = 2x ? ? dx dx ? ? 5 df 2 ( x ) dx 4? = = 5x ? dx dx ? dF ( x ) dx df1 ( x ) dx
2x
=
f 2 ( x ) + f1 ( x )
x5 x2
df 2 ( x ) dx
5 x4
= 2 x6 + 5×6 = 7 x6
et vérifier la cohérence des deux modes de…