Dd »sir image et imagination

ECRICOME 2003
option ECONOMIQUE

EXERCICE 1
On consid`re l’espace vectoriel E = R3 et f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base e ? ? ? canonique B = (? , ? , ? ) est la matrice A : e1 e2 e3 ? ? 3 ?2 3 2 ? A=? 1 0 0 0 2 1. Calcul des puissances de A 1. D´terminer les valeurs propres ?1 et ?2 de l’endomorphisme f , avec ?1 < ?2 e 2. La matrice A est-elle inversible ? (On ne demandepas la matrice A?1 ). 3. D´terminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces propres de f . e 4. Justi?er que f n’est pas diagonalisable. ? 5. D´terminer le vecteur ?1 de E v´ri?ant : e u e ? • ?1 est un vecteur propre de f associ´ ` la valeur propre ?1 u ea ? • la premi`re composante de ?1 est l. e u ? 6. D´terminer le vecteur ?2 de E v´ri?ant : e u e ? • ?2 est un vecteur propre de fassocie ` la valeur propre ?2 u a ? • la deuxi`me composante de ?2 est l. e u ? ? ? ? 7. Soit ?3 = (1, 1, 1). Montrer que C = (?1 , ?2 , ?3 ) est une basede E. u u u u 8. D´terminer la matrice de passage P de la la base B dans la base C puis la matrice de passage e de la base C ` la base B. a ? ? ? 9. Montrer que : f (?3 ) = ?2 + 2?3 u u u 10. En d´duire que la matrice de f dans la base C est e ? 10 ? 0 2 T = 0 0 11. Rappeler la relation matricielle entre A et T . 12. Prouver que pour tout ´l´ment n de N? il existe un ee ? 1 0 n ? 0 2n T = 0 0 r´el ?n tel que : e ? 0 ?n ? 2n la matrice: ? 0 1 ? 2 On donnera le r´el ?1 ainsi qu’une relation entre ?n+1 et ?n e ECRICOME 2003 Eco Page 1/ 5 13. Montrer que : ?n ? N? , ?n = n2n?1 En d´duire l’´criture matricielle de An en fonction de n. ee 2. Matrices commutant avec A. M3 (R) d´signant l’ensemble des matrices carr´es d’ordre 3, on consid`re le sous-ensemble C (A) de e e e M3 (R) des matrices M telles que : AM = M A 1. Montrer que C(A) est un sous-espace vectoriel de M3 (R) 2. Pour M appartenant ` M3 (R) on pose M = P ?1 M P. a Montrer que : AM = M A ?? T M = M T (T est d´?nie dans la question 1.10) e 3. Montrer qu’une matrice Mde M3 (R)) v´ri?e T M = M T si et seulement si M est de la e ? ? a 0 0 forme ? 0 b c ? o` a, b, c sont trois r´els. u e 0 0 b 4. En d´duire que M appartient ` C(A) si et seulement si il existe des r´els a, b, c tels que : e a e ? ? ?a + 2b 2a ? 2b ?a + b + 2c M = ? ?a + b 2a ? b ?a + b + c ? 0 0 b 5. D´terminer alors une base de C(A) ainsi que la dimension de C(A). e EXERCICE 2
On consid`re lesfonctions ch et sh d´?nies sur R par : e e ch (x) = ex + e?x ex ? e?x sh (x) = 2 2

ainsi que la fonction f d´?nie sur R par : e x si x = 0 sh (x) f (0) = 1 f (x) = On s’int´resse dans cet exercice ` la convergence de la suite (un )n?N d´?nie par la relation de e a e r´currence : e u0 = 1 ?n ? N un+1 = f (un ) 1. Etude des fonctions ch, sh, et f . 1. Etudier la parit´ des fonctions ch et sh. e2. Dresser le tableau de variations de la fonction sh, puis en d´duire le signe de sh (x) pour x e appartenant ` R. a ECRICOME 2003 Eco Page 2/ 5

3. D´terminer un ´quivalent en +? de sh(x). En d´duire l’allure de la courbe repr´sentative de e e e e la fonction sh en +?. 4. Montrer que la fonction sh r´alise une bijection de R dans R e 5. Etudier les variations de la fonction ch. 6. Montrer que: ?x ? R, ch (x) > sh (x) 7. Donner sur un m´me graphique l’allure des courbes repr´sentatives des fonctions ch et sh. e e 8. Etudier la parit´ de la fonction f . e 9. D´terminer le d´veloppement limit´ d’ordre 3 en 0 de la fontion sh. e e e 10. En d´duire que la fonction f est continue en 0, d´rivable en 0 et d´terminer f (0). e e e 11. Justi?er que f est d´rivable sur R? et sur R? et calculer f(x) pour x ? R? e + ? 12. On pose : ?x ? R+ , h (x) = shx ? xch (x) Etudier les variations de h, puis en d´duire le signe de h (x). e 13. D´terminer les variations de f sur R+ et donner l’allure de la courbe repr´sentative de la e e fonction f . (On ne cherchera pas les points d’in?exion). 2. Etude de la suite (un )n?N . On donne : f (0.8) sh(0.6) 0.9, f (1) 0.85, 0.64, sh(0.8) 0.89, sh(1)…