Argent

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD

Enoncés

1
[ 01737 ]

Fonctions de deux variables
Généralités sur les fonctions de deux variables
Exercice 1
Déterminer tous les couples (?, ?) ? (R+ )2 pour lesquels il existe M ? R tel que : ?x, y > 0, x? y ? M (x + y)
[ 01733 ]

Exercice 6

Soit f : R ? R une fonction de classe C 1 et F : R2 {(0, 0)} ? R dénie par

F(x, y) =
Déterminer

f (x2 + y 2 ) ? f (0) . x2 + y 2

(x,y)?(0,0)

lim

F (x, y).

Soit A une partie non vide de R2 et x un point de R2 . On note d(x, A) = inf x ? a . Montrer que d : R2 ? R est lipschitzienne.
a?A

Exercice 2

[ 01734 ]

Continuité
? ? 1 x2 + y 2 ? 1 si x2 + y 2 > 1 ? . Soit f : R2 ? R dénie par f (x, y) = 2 ? 1 2 ? ? x sinon 2 Montrer que f est continue.Exercice 7

[ 01738 ]

Limite
Exercice 3
Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes : a) f (x, y) = x2xy 2 +y b) f (x, y) = c) f (x, y) = d) f (x, y) =
x2 +xy+y 2 x2 +y 2 x2 y x2 +y 2 x2 y 2 x2 +y 2

[ 01735 ]

Exercice 8

Soit f : R ? R une fonction de classe C 1 et F : R2 ? R la fonction dénie par

[ 01739 ]

F (x, y) =
Montrer que F est continue.

f (x)

f (x)?f(y) x?y

si y = x . si y = x

Exercice 4

Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes : 3 a) f (x, y) = x y x+2y b) f (x, y) = x2 ?y2 c) f (x, y) =
x2 +y 2 |x|+|y|

[ 01736 ]

Exercice 9

Soit A une partie convexe non vide de R2 et f : A ? R une fonction continue. Soit a et b deux points de A et y un réel tels que f (a) y f (b). Montrer qu’il existe x ? A tel que f (x) = y.

[ 01741 ]

Exercice 5

Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes : sin a) f (x, y) = ? 2 xy 2 b) f (x, y) = c) f (x, y) = x = e d) f (x, y) = shxshy x+y
x +y 1?cos(xy) xy 2 y y ln x

[ 00068 ]

Dérivées partielles
Exercice 10
Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes : a) f (x, y) = xy (avec y > 0)b) f (x, y) = x2 + y 2 c) f (x, y) = x sin(x + y).
[01742 ]

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD

Enoncés

2
[ 01748 ]

Exercice 11

? 2 ?y , si x = 0 Soit f la fonction dénie sur R2 par f (x, y) = . x ? 0, si x = 0 a) Montrer que f admet une dérivée au point (0, 0) suivant tout vecteur de R2 . b) Observer que néanmoins f n’est pas continue en (0, 0).

[ 01743 ]

Exercice 16

Soit ? : R ? R continue et f : R2 ? Rdénie par
y

f (x, y) =
x

?(t) dt.

Montrer que f est de classe C 1 et calculer ses dérivées partielles premières.

Exercice 12

Soit f : R2 ? R dénie par

[ 01744 ]

Dérivées de fonctions composées
0
x2 y x4 +y 2

f (x, y) =

si (x, y) = (0, 0) sinon

.

Exercice 17

Montrer que f admet une dérivée en (0, 0) selon tout vecteur sans pour autant y être continue.

Soitf : R2 ? R partiellement dérivable en ses deux variables x et y . On pose g : R ? R dénie par g(t) = f (2t, 1 + t2 ). Exprimer g (t) en fonction des dérivées partielles ?f et ?f . ?x ?y

[ 01749 ]

xy si (x, y) = (0, 0) Soit f : R ? R dénie par f (x, y) = |x| + |y| . ? 0 sinon Justier que f est continue en (0, 0). Etudier les dérivées partielles de f en (0, 0).
2

Exercice 13

[ 01745]

Exercice 18
? ?

Soit f : R2 ? R une fonction de classe C 1 et g : R2 ? R dénie par g(u, v) = f (u2 + v 2 , uv). a) Justier que g est de classe C 1 . ?g ?g b) Exprimer ?u et ?v en fonction des dérivées partielles de la fonction f notées ?f ?f ?x et ?y .

[ 01755 ]

Exercice 14

Soit ? : R ? R dérivable. On pose f : R × R ? R dénie par f (x, y) = ?(y/x). Montrer que f vérie larelation :

[ 01746 ]

Exercice 19

x

?f ?f (x, y) + y (x, y) = 0. ?x ?y

Soit f : R2 ? R une fonction de classe C 1 et g : R2 ? R dénie par g(?, ?) = f (? cos ?, ? sin ?). a) Justier que g est de classe C 1 . b) Exprimer les dérivées partielles de f en fonction de celles de g . c) Exprimer les dérivées partielles de g en fonction de celles de f .

[ 01750 ]

Fonctions de classe…