Les matrices – cours formation d’ingénieur

Cours de mathématiques

Les matrices

1. Les matrices 2
1.1. Définition 2
1.2. Somme de deux matrices 2
1.3. Produit d’une matrice par un scalaire 2
1.4. Produit de 2 matrices 31.5. Matrice identité [pic] 4
1.6. Transposée d’une matrice 4
1.7. Déterminant d’une matrice carrée 5
1.8. Déterminant mineur : 5
1.9. Cofacteur 5
1.10. Calcul du déterminant 51.11. Les opérations sur les déterminants 6
2. Matrice inverse 7
2.1. Définition 7
2.2. Propriété 8
2.3. Calcul de la matrice inverse 8
3. Résolution des systèmes linéaires 11
3.1.Résolution matricielle 11

Les matrices

1 Définition

On appelle matrice, le tableau rectangulaire suivant :

[pic]

Ou [pic] avec [pic]
n : nombre de lignes
p : nombre de colonnes

Ondit, A matrice de type (n,p)

Exp : [pic]
A est de type (2,3)

A est dite patrice carré d’ordre M si n=p

2 Somme de deux matrices

A et B deux matrices distinctes de type (n,p)

[pic] et[pic]

[pic]

Exemple :

[pic]

3 Produit d’une matrice par un scalaire

[pic] et [pic]

[pic]

Exemple :

[pic] [pic]

4 Produit de 2 matrices

Soit [pic] et [pic]
On définit leproduit C=A.B (ou [pic] par :

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]
( on multiplie la 1ère ligne de la premier matrice par la 1ère colonne de la deuxième matrice…etc…

? Si A.B est défini alorsB.A ne l’est pas forcément
? (A+B)2=A2+AB+BA+B2
? Si A.B et B.A existent, alors en générale, A.B[pic]B.A [A est de type (n,p) et B de type (p,n)]
? L’associativité : (A.B).C=A.(B.C)[Attention : respecter l’ordre !]
? Puissance d’une matrice : [pic] avec A est une matrice carrée

Exercices :

1) Calculer A+2B

[pic]
[pic]

2) Calculer les produits :a)[pic]

b)[pic]= No possible
c) [pic]

3) on considère la matrice

[pic]
Montrer que [pic]

[pic]

5 Matrice identité [pic]

C’est la matrice carrée d’ordre n définis par :

[pic]…