Crazy

Les méthodes d’intégration numérique

L’intégration numérique
L’intégration numérique est un chapitre important de l’analyse numérique et un outil indispensable en physique numérique.
On intègre numériquement dans deux cas principaux:
* on ne peut pas intégrer analytiquement,
* l’intégrande est fourni non pas sous la forme d’une fonction mais de tableaux de mesures, cas d’ailleurs leplus fréquent dans la vraie vie.
Les méthodes numériques d’intégration d’une fonction sont nombreuses et les techniques très diverses. Des très simples, comme la méthode des rectangles aux très complexes comme certaines variétés de la méthode de Monte-Carlo. Nous n’aborderons ici que des méthodes (ou schémas)simples voire simplistes. Mon but est de vous donner un outil pour intégrer desfonctions pas très tourmentées, celles que l’on rencontre en physique dans le premier cycle universitaire. Pour les autres schémas, on en reparlera…

La méthode des rectangles
L’algorithme
Considérons donc une fonction continue sur un intervalle [a,b]. Je ne vais pas vous faire un cours sur l’intégration! Pour un physicien, intégrer signifie calculer l’aire sous la courbe de la fonction entre a etb.
La première méthode qui vienne à l’esprit, c’est de découper l’aire entre la courbe f(x), l’axe des x et les droites x= a et x = b, en une multitude de petits rectangles de largeur faible, appelons la h, et de hauteur f(h). L’aire sous la courbe est obtenue en sommant tous ces petits rectangles. Voyons cela sur un schéma:

Comme vous le constatez, on a le choix entre trois techniques:* 1 – on fait coïncider le sommet haut gauche du rectangle avec la courbe : c’est la méthode des rectangles à gauche,
* 2 – on fait coïncider le sommet haut droit du rectangle avec la courbe : c’est la méthode des rectangles à droite,
* 3 – on fait coïncider le milieu du coté haut du rectangle avec la courbe: c’est la méthode du point milieu
Posons h = (b – a)/n, où n est le nombre derectangles avec lesquels nous allons paver l’aire à calculer. Evidement, plus n sera grand et plus la précision du calcul sera grande (du moins en première approche!).
Un rapide calcul nous montre que dans le cas:
1 – méthode des rectangles à gauche, on obtient:
2 – méthode des rectangles à droite, on obtient:
3 – méthode du point milieux, on obtient:
Voilà, vous savez tout de la méthode desrectangles: très simple mais pas très précise. Mais facile à coder! Pour des fonctions cool (polynomiales, sin, cos, exp), cette méthode donne des résultats acceptables. Et puis, on peut la programmer facilement sur une calculette…
Implémentation de la méthode des rectangles
Pour l’exemple, j’ai choisi d’implémenter la méthode du point milieu, qui est celle qui est la plus précise. j’ai doncrepris la formule indiquée ci-dessu en la triturant un peu…
L’implémentation en FORTRAN est pratiquement immédiate. Il s’agit d’écrire une routine qui soit suffisamment générale pour être réutilisable dans tous nos programmes de physique numérique. Cela signifie qu’elle ne doit pas contenir de données propres aux programmes et que ses paramètres doivent être suffisamment complets pour supportertous les échanges nécessaires entre le programme et la routine.
Ce qui donne:
C Integration par la methode des rectangles (point milieu)
C Dominique Lefebvre janvier 2007
C
C a = borne inferieure d’integration
C b = borne superieure d’integration
C n = nombre de pas (rectangles)
C aire = surface retournee
SUBROUTINE IntRectangles (fn,a,b,n,aire)
REAL a,b,fn,aire
INTEGER nEXTERNAL fn
REAL x,h
C Initialisation des variables
aire = 0
x = a
h = (b-a)/n
C Boucle de calcul
DO WHILE (x .LT. b)
aire = aire + h*(fn(x+h)+fn(x))/2
x = x+h
ENDDO
END
Le programme colle à l’algorithme. Il n’y a pas de piège caché…

La méthode des trapèzes
L’algorithme
La méthode des trapèzes est du même tonneau que celle des rectangles. Vous avez sans doute…