Maths
DÉNOMBREMENT : quelques exemples de référence
Comment savoir si l’on doit utiliser des p-listes, des arrangements ou des combinaisons ? Les critères sont : les éléments peuvent-ils être répétés ? L’ordre des éléments est-il à prendre en compte ?
Critères On tient compte de l’ordre On ne tient pas compte de l’ordre Les éléments peuvent être répétés Utiliser les p-listes Hors programme ! Leséléments sont distincts Utiliser les arrangements Utiliser les combinaisons
Exemple 1 : Le loto : on tire, au hasard, 6 boules parmi 49. Combien de tirages possibles ? (On ne tient pas compte du numéro complémentaire) • Peut-on obtenir plusieurs fois le même numéro lors d’un tirage ? § Non ! Donc les éléments sont distincts. • L’ordre d’apparition des différents numéros a-t-il de l’importance ? §Non ! On considère les six numéros globalement ! (Si l’on obtient 15 – 18 – 29 -3 – 43 – 32 ou si l’on obtient 43 – 3 – 18 – 32 – 29 – 15, il s’agit du même tirage). Donc l’ordre n’a pas d’importance. Nous devons donc utiliser les combinaisons ! Rappelons que
Il y a donc
(Remarque en passant : si vous cochez une grille au loto, vous aurez donc une chance sur 13983816 d’avoir les 6 numéros…)Exemple 2 :
La course et le podium : dans une course de 100m, il y a huit partants numérotés de 1 à 8. Sur le podium, il y aura les trois médaillés (or – argent – bronze). Combien y a-t-il de podiums possibles ? Convention d’écriture : on notera par exemple 2 – 5 – 3 le podium suivant : médaillé d’or : n°2 ; médaillé d’argent : n°5 et médaillé de bronze : n°3. • Peut-on obtenir plusieurs foisle même numéro sur un podium ? § Non ! Un même coureur ne peut pas être à
la fois médaillé d’or et d’argent ! Donc les éléments sont distincts.
• L’ordre d’apparition des différents numéros sur le podium a-t-il de l’importance ? § Oui ! Si l’on obtient le
podium 6 – 4 – 3, cela signifie que le coureur n°6 a la médaille d’or. Tandis que le podium 4 – 6 – 3 signifie que c’est le coureur n°4qui est en or. Le podium 4 – 6 – 3 n’est donc pas le même que le podium 6 – 4 – 3 ! Autrement dit l’ordre est ici déterminant. Nous devons donc utiliser les arrangements ! Rappelons que Anp est le nombre d’arrangements de p objets choisis parmi n, c’est-à-dire le nombre de p-listes d’éléments distincts choisis parmi n.
3 Il y a donc A8 = 336 podiums possibles.
Dénombrement : exemples deréférence
§ ¨ ¤ ¨ £¦ ¡ § ¢ ¤¢ ¥ £¦ ¡
n est le nombre de façons de choisir p objets parmi n. (Sans tenir compte de l’ordre) p
49 = 13983816 tirages possibles. 6
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G. COSTANTINI
Remarque : ce problème peut aussi se résoudre très simplement en raisonnant avec des cases :
Or N° 5 Argent N° 3 Bronze N° 8
On a 8 choix pour la première case et 7 choix pour le seconde et enfin 6 choixpour la dernière : Au total : 8 × 7 × 6 = 336 podiums possibles.
Exemple 3 :
Combien peut-on attribuer de numéros de téléphones portables (numéros à 10 chiffres commençant par 06) ?
Dans un n° de téléphone portable commençant par 06, il reste encore 8 autres chiffres. Ces 8 chiffres forment une 8-liste de l’ensemble E = {0 ; 1 ; 2 ; … ; 9} (E contient 10 éléments) Rappelons que le nombrede p-listes d’un ensemble E à n éléments est : np. Ici, n = 10 et p = 8. Donc il existe 108 = 100 000 000 (cent millions) de n° de téléphones portables ! On peut aussi retrouver ce résultat en raisonnant avec des cases.
Quand on utilise plusieurs combinaisons, faut-il additionner ou multiplier ?
Cela dépend de la situation ! Concrètement :
• Si les différentes étapes sont reliées par un »et », on multiplie. • Si les différents cas sont reliés par un « ou », on additionne.
Exemple 4 :
Dans un jeu de 32 cartes, on choisit 5 cartes au hasard (ces 5 cartes s’appellent une « main »). 1. Combien de mains contiennent exactement 2 dames et 1 roi ? 2. Combien de mains contiennent au moins 3 rois ? (C’est-à-dire 3 rois ou 4 rois)
1. Nombre de façons de choisir les deux dames (parmi 4)…