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Pˆle Kerichen-Vauban PCSI 2 o

Du 29 mars au 2 avril 2010

Programme de colle N° 22
XX. Espaces vectoriels
K d´signe le corps R ou C e I. Structure d’espace vectoriel 1. D´?nition d’un espacevectoriel e 2. D´?nition d’une alg`bre e e II. Sous-espace vectoriel 1. D´?nition e 2. L’intersection de sev est un sev III. Somme de deux sev 1. D´?nition e 2. Somme directe 3. Sous-espacessuppl´mentaires e IV. Sous-espace engendr´ par une partie e V. Espace vectoriel produit VI. Applications lin´aires e 1. D´?nition e 2. La compos´e de deux application lin´aires est une application lin´aire e e e3. La r´ciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme e 4. Les images directes et r´ciproques d’un sev par une application lin´aire sont des sev e e 5. D´?nition de Ker f et Im f . e 6. f estsurjective ? Im f = F et f est injective ? Ker f = {0} VII. Projecteurs, Sym´tries, et A?nit´s e e 1. Projecteurs a. D´?nition e b. p ? L(E), p ? p = p c. p est un projecteur ? p ? p = p 2. Sym´tries e a.D´?nition e b. S ? GL(E), S ? S = Id c. S est une sym´trie ? S ? S = IdE e 3. A?nit´s e a. D´?nition e b. f ? GL(E) VIII. Translations. Sous espaces a?nes 1. Translation d’un K-ev 2. Sous-espace a?ned’un K-ev. a. D´?nition e b. Intersection de deux sea c. Parall´lisme e

Questions de cours :
1. Projecteur : D´?nition. Preuve de p ? L(E) ; que ker p = · · · et Im p = · · · ; p ? p = p. e 2.Sym´tries : D´?nition. Preuve de S ? GL(E) ; que ker(S ? Id) = · · · et ker(S + Id) = · · · ; S ? S = IdE . e e 3. Pour f ? L(E), f est un projecteur ? f ? f = f . 4. Pour f ? L(E), f est une sym´trie ? f ? f= IdE . e 5. Sous-espace a?ne ; d´?nition, exemples. D´?nition de la direction, du parall´lisme. e e e 6. Fonction d´rivable en a ; exemples, contre-exemples. Interpr´tation graphique. Lien avec lacontinuit´ ; preuve. e e e 7. Formule de Leibniz et sa d´monstration. e 8. Th´or`me de Rolle, th´or`me des accroissements ?nis ; sch´mas. Cas des fonctions de R dans C. e e e e e 9. In´galit´…