Algèbre de boole
Recueil d’exercices sur les propriétés des variables et fonctions logiques 1. Énoncé des exercices
Exercice 1
Établir les tables de vérité des fonctions suivantes, puis les écrire sous les deux formes canoniques : 1. F1 = XY + YZ + XZ 2. F2 = X + YZ + Y Z T 3. F3 = ( X + Y )( X + Y + Z ) 4. F4 = ( X + Z )( X + T + Z )Y Z 5. F5 = ( X Y + XY ) Z + ( X Y + XY ) Z 6. F6 = X + YZ 7. F7 = X Y Z + X YZ + X Y Z + XY Z + XYZ 8. F8 = ( X + Y + Z )( X + Y + Z )( X + Y + Z )( X + Y + Z )( X + Y + Z )
Exercice 2
Complémenter les expressions suivantes (sans simplification) : 1. F1 = X Y + XY + X Y 2. F2 = X (Y Z + YZ ) + X Y Z + X Y Z 3. F3 = X Y + ZT + X Y + Z T 4. F4 = X Y ZT + X YT + X Z + ( Z + T )( XY + Z ) 5. F5 = ( X + Y )( X + Z ) 6. F6 = ( X + Y Z T )( XY + Z + T )( X + Y + Z )Exercice 3
Écrire sous la première forme canonique les fonctions définies par les propositions suivantes : 1. f ( A, B , C) = 1 si et seulement si aucune des variables A, B, C ne prend la valeur 1
1
2. f ( A, B , C) = 1 si et seulement si au plus une des variables A, B, C prend la valeur 0 3. f ( A, B , C) = 1 si et seulement si exactement une des variables A, B, C prend la valeur 1 4. f ( A, B, C) = 1 si et seulement si au moins l’une des variables A, B, C prend la valeur 0 5. f ( A, B , C) = 1 si et seulement si exactement deux des variables A, B, C prennent la valeur 1 6. f ( A, B , C) = 1 si et seulement si au moins deux des variables A, B, C prennent la valeur 0 7. f ( A, B , C) = 1 si et seulement si les variables A, B, C prennent la valeur 1
Exercice 4
Mettre les fonctionsde l’exercice précédent sous la seconde forme canonique.
Exercice 5
Écrire sous la seconde forme canonique les fonctions définies par les propositions suivantes : 1. g( A, B , C) = 0 si et seulement si aucune des variables A, B, C ne prend la valeur 1 2. g( A, B , C) = 0 si et seulement si au plus une des variables A, B, C prend la valeur 0 3. g( A, B , C) = 0 si et seulement si exactement unedes variables A, B, C prend la valeur 1 4. g( A, B , C) = 0 si et seulement si au moins l’une des variables A, B, C prend la valeur 0 5. g( A, B , C) = 0 si et seulement si exactement deux des variables A, B, C prennent la valeur 1 6. g( A, B , C) = 0 si et seulement si au moins deux des variables A, B, C prennent la valeur 0 7. g( A, B , C) = 0 si et seulement si les variables A, B, C prennent lavaleur 1
Exercice 6
Mettre les fonctions de l’exercice précédent sous la première forme canonique.
Exercice 7
Démontrer les relations suivantes : 1. AB + ACD + B D = AB + B D 2. ( A + B)( A + C )( B + C ) = ( A + B )( A + C ) 3. AB + B C = ( A + B )( B + C ) 4. AB + A B = AB + A B 5. ( A + B )( A + C ) = ( A + B )( A + C )
2
Exercice 8
Simplifier algébriquement les fonctionssuivantes : 1. F1 = ( X + Y )( X + Y ) 2. F2 = X Y + XY + X Y 3. F3 = XY + Z + Z ( X + Y ) 4. F4 = X (Y Z + YZ ) + X Y Z + X Y Z 5. F5 = ( X + Y )( XY + Z ) Z 6. F6 = XY + ZT + X Y + Z T 7. F7 = ( X + Y + Z )( X + Y + Z ) + XY + YZ
Exercice 9
Simplifier, par la méthode des diagrammes de Karnaugh, les fonctions booléennes suivantes : 1. F( A, B , C) = A B C + A BC + AB C 2. F( A, B , C) = A BC + ABC + AB C 3. F( A, B , C) = A B C + A BC + A BC + A B C + A B C 4. F( A , B , C) = A B C + A B C + A BC + AB C + A B C + AB C 5. F( A, B , C) = A B C + A BC + A B C + AB C 6. F( A, B , C) = A B C + A B C + AB C , sachant que la valeur de F pour les états A BC et ABC est indifférente. 7. F( A , B , C) = ( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C)( A + B + C )( A + B + C ) Utiliser les zéros du tableau deKarnaugh et donner le résultat sous forme conjonctive.
Exercice 10
Simplifier, par la méthode des diagrammes de Karnaugh, les fonctions booléennes suivantes : 1. F( A , B , C, D) = A BC D + A B C D + A BC D + A B C D 2. F( A, B , C, D) = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D 3. F( A , B , C, D) = A B C D + A B C D + A BC D + A BC D + A BC D + A B C D + A B C D 4. F( A , B , C, D) = A B C D…