Ingenieur

Exercice n°1 : D’après CCP PSI 2007 On notera au choix les coefficients binomiaux, pour n et p entiers tels que p ? n : ?n? n! p ? ? = Cn = p !( n ? p ) ! ? p?

Soit n un entier naturel , pour p ?0, n , on note Ap = ( aij ) la matrice de M n ? p +1 ( ? ) dont
p+ ? le coefficient de la ligne i et de la colonne j est aij = C p +ii+ 1j ? 2 avec ( i, j ) ? 1, n ? p + 1
2

On note d p = det (Ap )

1. Calculer les coefficients a1,1 , a1,n ? p +1 , an ? p +1,1 et an ? p +1,n ? p +1
2. Calculer pour tout entier n les déterminants d n , d n ?1 et d n ? 2 3. Dans le calcul de d p , pour ivariant de 2 à n-p+1 , on effectue les opérations suivantes : on retranche la ligne Li ?1 à la ligne Li , i.e. : Li ? Li ? Li ?1 . Déterminer les coefficients d’indice ( i, j ) de la ligne obtenue. Endéduire une relation entre d p et d p +1 , puis la valeur de d p On note Dn le déterminant de la matrice carrée de M n+1 ( ? ) dont le terme de la ligne i+1 et de la colonne j+1 est Avec les mêmesnotations on définit : ? n = det ( Cii+ j ) 4. Calculer D0 , D1 , D2 , ? 0 , ?1 et ? 2 5. Donner une relation entre Dn et ? n 6. Préciser ? n , puis en déduire Dn

( i + j ) ! , avec ( i, j ) ?

0, n2

(

)

, on notera Dn = det ( ( i + j ) !) avec ( i, j ) ? 0, n
2

Exercice n°2 : ( d’après une partie d’ ESIM 94 )
Préliminaires : Rappeler les formules qui donne : ch ( 2a ) et sh ( 2a) en fonction de sh ( a ) et ch ( a ) Donner un développement à l’ordre 5 en 0 des fonctions : sh ( u ) et th ( u )

On considère une suite

accélérateur de convergence de la suite ( xn ) si etseulement si

( xn )

qui converge vers L . La suite

( yn ) définit yn ? L = o ( xn ? L )

un

1. On considère les suites définies par les relations suivantes pour x > 1

1? 1? 1? 1? C0 =? x + ? , S0 = ? x ? ? x? x? 2? 2? S S 1 + Cn , S n +1 = n et Tn = n Cn +1 Cn 2 On pose ? = ln x Cn +1 =
?? ? ?? ? Montrer que pour tout entier n, on a : S n = 2n sh ? n ? et Tn = 2n th ? n ? ?2…