Theorie des copules

Chapitre 2 : la théorie des copules
Préambule :
La théorie des copules est un outil statistique qui permet de modéliser la structure de dépendance de façon réaliste et moins restrictive prenant mieux en compte les faits stylisés en finance , de plus il présente de nombreux avantages , les fonctions copules permettent de déterminer la nature de dépendance des séries qu’elle soit linéaire oupas , monotone ou pas , elles présentent une grande souplesse dans la mise en œuvre de l’analyse multivariée , elles permettent la prise en compte des distributions multidimensionnelles assez générales et ce indépendamment des lois marginales .
Les copules ont été introduites en 1959 dans des études sur les espaces métriques, et ce n’est qu’à partir de l’année 1999 que cette théorie commence à êtreappliquée à la finance à l’actuariat et dans le domaine de la gestion des risques plus particulièrement.
Les perspectives d’application sont nombreuses du fait de la simplification apportée à l’étude du cas multivarié. Ce chapitre constitue une introduction à la théorie des copules et à quelques une de des applications à la finance, comme l’élaboration des scénarios de crise qui est le cœur denotre sujet.
Pour atteindre cet objectif, nous commençons tout d’abord par une définition des copules tout en rappelons les principales propriétés des copules, puis nous présenterons les méthodes d’estimation du paramètre des copules et finalement les tests d’adéquation qui nous sélectionne la copule la mieux adaptée à la modélisation.
Présentation générale:
. DEPENDANCE ET COPULES

Supposerl’indépendance entre les facteurs de risques d’un portefeuille en finance est une hypothèse forte qui doit être testée. Les copules présentent de nombreux avantages pour modéliser la dépendance entre risques. D’une part, elles permettent de décrire le comportement individuel de chaque risque et « couplent » les lois marginales pour obtenir la loi jointe. D’autre part, elles offrent une représentationfonctionnelle de la dépendance qui donne une description très complète de la forme de cette dernière. Dans cette partie on présente les résultats les plus fondamentaux de la théorie des copules.

Dépendance et corrélation :

Il est important de rappeler que la dépendance et la corrélation sont des notions différentes. En effet, on a :
X et Y indépendantes? X et Y non corrélées ou ? (X ,Y) = 0
Mais la réciproque est fausse sauf dans le cas où les variables sont gaussiennes car la dépendance est alors, entièrement caractérisée par le coefficient de corrélation.
Bien qu’il soit facile à calculer le coefficient de corrélation doit être utilisé avec précaution car il n’est pertinent qu’en présence de distributions elliptiques (distribution multivariée Normale ou de Student) ou dedépendance linéaire.
Qu’est-ce qu’une copule ?

Définition 1 :
Introduction mathématique
Définition d’une copule :
Une copule est une fonction de répartition multivariée c définie sur l’hypercube [0 ;1]n et dont les marginales sont uniformes sur [0,1].
Corollaire :
Une copule est une fonction C de [0,1] vers [0,1] vérifiant les 3 propriétés suivantes :
1. C (u1 ,u2,…..,un) estcroissante au sens large par rapport à chaque composante uk .
2. Pour tout vecteur u dans [0,1]n , C(u)=0
3. Propriété de supermodularité :
Pour tout (a1,a2, ……an), (b1,b2, ……bn) € [0 ,1]n

ou = aj et = bj

le théorème qui suit est connu sous le nom du théorème de SKLAR qui nous donne un résultat fondamental dans la théorie des copules.

Théorème de Sklar :
Soit Fune fonction de répartition n-dimensionnelle avec des marginales F1,…,Fn , alors il existe une n-copule C telle que pour tout x de Rn ,
F(x1 ,…,xn ) =C(F1 (x1 ),…, Fn( xn)).
Réciproquement, si C est une copule et F1,…..,Fn sont des fonctions marginales continues alors C est unique.
Ce théoréme permet d’associer à chaque distribution bidimensionnelle une copule.
Le théorème de…